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研究高等代数之数学史教学

时间:2018-08-09 11:47作者:怡然
本文导读:这是一篇关于研究高等代数之数学史教学的文章,高等代数是数学专业以及其他理工、经济等专业的基础课.教学实践表明, 学生较难掌握其思想和方法。

  摘要:研究有关高等代数的数学史教学问题.首先介绍了高等代数的课程体系;其次, 阐述了相应课程体系中的重要数学概念、思想方法的起源与演变;最后论述了如何将高等代数课程融入数学史教学, 以及在数学史课程中如何讲授高等代数的历史问题.

  关键词:高等代数,数学史,融合,教学

  On Teaching the History of Mathematics in Advanced Algebra Course

  Abstract:In this paper the teaching problems of mathematics history on advanced algebra has been studied, and the advanced algebra courses system has been for the first time introduced.Secondly, the paper expounds the origin and evolution of the important mathematical concepts of curriculum system, and the corresponding thinking methods.Finally it has been discussed how to teach mathematics history in the advanced algebra courses, and how to introduce the history of the advanced algebra in the mathematics history course.

  Keyword:advanced algebra,mathematical history,fusion,teaching

  高等代数是数学专业以及其他理工、经济等专业的基础课.教学实践表明, 学生较难掌握其思想和方法, 究其原因, 首先是高等代数具有抽象性, 例如其重要概念———线性空间、线性变换, 以及两者的对象———向量, 都是现实世界的二度抽象, 这影响了学生对知识的理解与应用;其次, 教师授课呆板、生硬, 没能揭示高等代数的思想、方法.知识的学习分成理解、掌握与运用阶段, 与高等代数相关的数学史教学对学生不同阶段的高等代数学习都有促进作用.文献[1-3]指出, 高等代数教学要结合课程内容, 渗透数学史知识, 并介绍数学家的生平事迹.本文论述与高等代数相关的数学史知识的教学问题, 首先概括了高等代数的课程体系;其次, 介绍了高等代数中的重要概念以及思想方法的起源、发展;最后, 从两个方面论述了高等代数之数学史的教学问题.本文的研究结果有利于学生掌握高等代数的思想方法, 克服因课程抽象而带来的学习困难, 提高教学质量.
 

  1、高等代数的课程体系

  文献[4]给出了高等代数的课程结构, 但未涉及一般线性空间的概念, 因而不全面.本文以文献[5]为蓝本, 将高等代数的课程体系总结如下:

  高等代数包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间、双线性函数等内容.

  高等代数提供的研究问题的工具有多项式、行列式、矩阵、向量、线性变换和正交变换等.

  高等代数主要研究了线性方程组解的存在性、解的结构问题;研究了二次型的标准化问题, 即矩阵的对角化问题;针对一般复数域上的矩阵给出了Jordan标准形;针对实数域上的对称阵, 采用正交变换法给出矩阵对角化方法.

  高等代数的重要思想、方法包括矩阵思想、线性变换 (正交变换) 思想、同构思想, 这些思想可以用来解决本学科的问题及其他学科、工程等的实际问题.

  高等代数各部分内容联系紧密, 其知识结构如下:

  行列式、向量知识模块是线性方程组模块的基础;矩阵、线性变换模块与二次型标准化模块紧密相关;λ-矩阵模块与矩阵的Jordan标准形模块紧密相关;实对称矩阵对角化模块的学习建立在正交变换模块的基础上.

  2、高等代数的数学史

  高等代数是现代数学及其他学科的重要基础, 其起源较早.高等代数历史上的第一个概念是行列式, 17世纪末由德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和在研究线性方程组问题时分别独立提出[6-7].20世纪初, 对线性空间理论的公理化处理[8]标志着高等代数理论基本成形.这期间, 高等代数的发展源自于几方面原因, 其中, 线性方程组求解问题的研究推动了行列式、向量理论的发展;几何中二次曲线、二次曲面的研究推动了二次型理论的发展, 中心任务是将矩阵对角化;受四元数的研究和推广复数的研究的影响, 数学家Gibbs和Heaviside在20世纪初能灵活运用向量[9];线性变换源自于几何图形方程的变形需要, 并受到矩阵思想的影响, 其理论也得到发展;高等代数的发展还受到了当时微分方程、群论等研究的影响.下面围绕3个主线阐述高等代数的主要发展历程.

  2.1 行列式概念及有关运算

  1) 莱布尼茨、关孝和为解线性方程组提出了行列式的概念, 并建立了行列式的初步理论.

  2) 瑞士数学家G.Cramer在《代数曲线分析引论》一书中提出了求解线性方程组的克拉默法则 (麦克劳林在1748年也得到同样的法则) .

  3) 法国数学家A.T.Vandermonde将行列式看作独立的对象进行研究, 给出大家熟知的范德蒙德行列式计算方法以及一般行列式按照余子式展开的方法, 被认为是行列式理论的奠基人.

  4) 柯西、凯莱和西尔维斯特等进一步发展了行列式的理论.柯西1815年首次提出行列式名称, 并给出行列式的乘法定理.凯莱1841年首先创用行列式的记号“||”.

  2.2 矩阵理论

  矩阵概念逻辑上先于行列式概念, 而在历史上次序正好相反, 其创始人是凯莱.

  凯莱提出矩阵思想, 他主要从行列式的概念获得矩阵思想, 或将矩阵作为一个表达方程组的方法而获得矩阵的思想.他还给出了矩阵的加法、乘法、矩阵的逆运算以及Hamilton-Cayley定理, 其中矩阵的逆运算用现代记号定义如下:

  德国数学家弗罗贝尼乌斯在1879年利用行列式概念引进矩阵的秩, 即一个矩阵的秩为r当且仅当它至少有一个r阶子式其行列式不为0, 而所有高于r阶的子式的行列式都为0.1878年, 弗罗贝尼乌斯还定义了正交矩阵、Jordan使用相似矩阵和特征方程的概念, 证明了矩阵可以对角化.

  综上所述, 矩阵及理论被用于表达线性方程组、线性变换, 以解决线性方程组的求解问题和矩阵的对角化问题, 故此, 矩阵理论基本成形.

  2.3 线性空间

  线性空间是高等代数的一个重要概念, 它是一个抽象的集合, 其元素被称为向量, 向量之间要满足一定的运算性质.在线性空间中, 建立线性变换用以研究元素之间的关系.线性空间的概念反映了当时19世纪至20世纪的数学结构主义思想.建立在线性空间上的线性变换, 其理论基础严密, 用来解决矩阵的对角化问题.下面阐述向量、线性空间概念的形成历史.

  2.3.1 向量

  19世纪数学的一个研究热点是推广复数, 这项研究的直接成果是:1843年Hamilton创立四元数;19世纪末Gibbs和Heaviside创立三维向量代数和向量分析;德国数学家Grassmann提出n维向量及运算.

  Gibbs著《向量分析基础》, 此书未出版, 1881-1884年私人传播了这本书.Gibbs关于向量分析的工作于1901年呈现在《向量分析》一书中, 作者是他和Wilson.Heaviside著有《电磁理论》, 其第一卷第三章约175页是关于向量方法的.Gibbs和Heaviside的工作具有广泛的影响.

  Gibbs和Heaviside的向量具有如下形式:

  其中a, b, c是实系数, i, j, k是沿坐标轴x, y, z的单位向量, 且满足两两正交性质.

  Gibbs和Heaviside还定义了向量的内积和外积, 这与今天的定义一致.

  Grassmann著有《线性扩张论》、《扩张论》, 但因文风和有欠明了影响较小.Grassmann的n维向量定义如下:

  其中a1, a2, …, an是系数, ε1, ε2, …, εn是线性无关的单位向量.Grassmann的n维向量的定义与今天的定义一致.

  Grassmann也给出了一般线性空间上向量的内积和外积的定义.

  2.3.2 线性空间

  线性空间的概念形成于19世纪末.1888年, 佩亚诺在他的《几何演算》中首次给出了这个定义.他称这样一个系统由具有加法和数乘运算的量组成, 加法运算必须满足交换律和结合律, 而数乘运算满足两个分配律、一个结合律, 另外要求:
 

  佩亚诺还定义了线性空间的维数.

  Grassmann给出了子空间和的维数定理:
 

  佩亚诺等关于线性空间的工作影响较小, 线性空间的公理化定义完成于20世纪.

  3 、高等代数的数学史教学

  3.1 数学史课程中, 与高等代数相关的历史教学

  数学史课程的重要目的之一是促进学生对所学内容及其联系的深入理解.高等代数是重要的数学基础课, 所以, 有关它的历史与发展应作为数学史课程的教学重点.

  教学经验表明, 数学史课程如果仅从数学史角度讲授高等代数的重要概念、思想方法的历史, 学生会感觉数学史知识零散、不系统, 因而也不能实现教学目的, 即加强学生对高等代数内容及其联系的深入理解.

  教师教学时, 可以先帮助学生总结高等代数的课程体系、结构, 再从历史的角度介绍其主要思想的起源与演化, 突出教学重点, 使学生理解、掌握其相关内容.

  3.2 高等代数课程中相关数学史知识的教学

  1) 依据高等代数课程的体系结构, 高等代数课程中应讲授行列式、矩阵、二次型、向量和向量空间等概念产生的背景以及相关理论的发展和应用.

  2) 高等代数教学时, 教师应在每章的首次课介绍相关数学史知识, 使学生了解新知识产生的背景及要解决的问题.这有利于学生利用原有知识同化新知识, 有利于学生建立良好的知识结构, 合理地选择数学方法正确解决科学问题, 也有助于学生掌握数学发明的方法.

  3) 在教学情境设置上, 可以利用数学史.例如, 讲授矩阵乘法时, 可以先给出如下两个变换:
 

  然后让学生计算这两个变换的乘积, 得到

  观察其系数, 可以发现它们是下面两个矩阵经适当运算的结果:
 

  将这种运算定义为矩阵乘法.实际上, 数学家高斯、凯莱就是这样引进矩阵乘法运算的.上述过程是重复数学家的发现过程, 这样做, 不但可以引入新知识, 还可以培养学生的创造力, 激发学生学习新知识的兴趣.

  4) 高等代数教学时, 可以适时、适量地介绍数学家的生平、工作, 数学家的高尚情操以及对数学的挚爱, 给学生留下深刻的印象, 使学生明白数学不是天外来物, 而是人类的创造.

  4、结语

  本文从两个角度研究了高等代数的数学史教学问题, 首先研究了如何在高等代数课程中插入数学史知识进行教学;其次研究了如何在数学史课程中展开有关高等代数的历史教学.本文结合数学史的教学经验, 给出有效的教学方案.本文较全面地概括了高等代数中的重要概念、思想方法的起源与发展, 总结了高等代数的课程体系, 为学生全面、深入地掌握高等代数的思想、方法奠定了基础.本文的研究结果有利于提高高等代数课程的教学质量.

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